frm考点之black-scholes期权定价模型
作者：泽稷编辑 发布时间：2018-01-22 13:54
black-scholes期权定价模型是frm一级考试中较为重要的考点。计算题中，经常会考到bs定价公式，因此frm考生们要熟记这个知识点。不过，由于期权定价受多种因素影响，期权价格的决定非常复杂，考生对于期权定价的其他知识只需了解即可。接下来，frm君就给大家梳理一下black-scholes期权定价模型的相关考点内容。
期权定价模型由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出（black-scholes-merton option pricing model）。该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时，此确定报酬必须得到无风险利率。期权的这一定价思想与无套利定价的思想是一致的。所谓无套利定价就是说任何零投入的投资只能得到零回报，任何非零投入的投资，只能得到与该项投资的风险所对应的平均回报，而不能获得超额回报（超过与风险相当的报酬的利润）。从black-scholes期权定价模型的推导中，不难看出期权定价本质上就是无套利定价。
b-s-m模型假设
1、股票价格随机波动并服从对数正态分布；
2、在期权有效期内，无风险利率和股票资产期望收益变量和价格波动率是恒定的；
3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本；
4、股票资产在期权有效期内不支付红利及其它所得(该假设可以被放弃)；
5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；
6、金融市场不存在无风险套利机会；
7、金融资产的交易可以是连续进行的；
8、可以运用全部的金融资产所得进行卖空操作。
b-s-m定价公式
c=s·n(d1)-x·exp(-r·t)·n(d2)
其中:
d1=[ln(s/x) (r σ^2/2)t]/(σ√t)
d2=d1-σ·√t
c—期权初始合理价格
x—期权执行价格
s—所交易金融资产现价
t—期权有效期
r—连续复利计无风险利率
σ—股票连续复利（对数）回报率的年度波动率（标准差）
n(d1)，n(d2）—正态分布变量的累积概率分布函数，在此应当说明两点：
9，该模型中无风险利率必须是连续复利形式。一个简单的或不连续的无风险利率(设为r0)一般是一年计息一次，而r要求为连续复利利率。r0必须转化为r方能代入上式计算。两者换算关系为：r=ln(1 r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，则r=ln(1 0.06)=0.0583，即100以583%的连续复利投资第二年将获106，该结果与直接用r0=0.06计算的答案一致。
第二，期权有效期t的相对数表示，即期权有效天数与一年365天的比值。如果期权有效期为100天，则t=100/365=0.274。
b-s-m模型的推导
b-s-m模型的推导是由看涨期权入手的，对于一项看涨期权，其到期的期值是:
e[g]=e[max(st-l，o)]
其中，e[g]—看涨期权到期期望值
st—到期所交易金融资产的市场价值
l—期权交割(实施)价
到期有两种可能情况:
1、如果st>l，则期权实施以进帐(in-the-money)生效，且max(st-l，o)=st-l
2、如果st<l，则期权所有人放弃购买权力，期权以出帐(out-of-the-money)失效，且有:max(st-l，o)=0
从而：
e[ct]=p×(e[st|st>l)-l) (1-p)×o=p×(e[st|st>l]-l)
其中：p—(st>l)的概率e[st|st>l]—既定(st>l)下st的期望值将e[g]按有效期无风险连续复利rt贴现，得期权初始合理价格:
c=p×e-rt×(e[st|st>l]-l)(*)这样期权定价转化为确定p和e[st|st>l]。
首先，对收益进行定义。与利率一致，收益为金融资产期权交割日市场价格(st)与现价(s)比值的对数值，即收益=1nsts。由假设1收益服从对数正态分布，即1nsts～n(μt，σt2)，所以e[1n(sts]=μt，sts～en(μt，σt2)可以证明，相对价格期望值大于eμt，为:e[sts]=eμt σt22=eμt σ2t2=eγt从而，μt=t(γ-σ22)，且有σt=σt
其次，求(st>l)的概率p，也即求收益大于(ls)的概率。已知正态分布有性质：pr06[ζ>χ]=1-n(χ-μσ)其中:ζ—正态分布随机变量χ—关键值μ—ζ的期望值σ—ζ的标准差。所以：p=pr06[st>1]=pr06[1nsts]>1nls]=1n-1nls2)ttnc4由对称性:1-n(d)=n(-d)p=n1nsl (γ-σ22)tσtars第三，求既定st>l下st的期望值。因为e[st|st]>l]处于正态分布的l到∞范围，所以，e[st|st]>=s·eγt·n(d1)n(d2)
其中：d1=lnsl (γ σ22)tσtd2=lnsl (γ-σ22)tσt=d1-σt
最后，将p、e[st|st]>l]代入(*)式整理得b-s定价模型:c=s·n(d1)-l·e-γt·n(d2)